Question

【题目】设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0 ， h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若 ＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（ ）
A.1
B.
C.e
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函数y=f（x）在其图象上一点P（x0 ， f（x0））处的切线方程为：
y=g（x）=（2x0+ ﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0 ，
设m（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+ ﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0 ，
则m（x0）=0．
m′（x）=2x+ ﹣6﹣（2x0+ ﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣ ）= （x﹣x0）（x﹣ ）
若x0＜ ，m（x）在（x0 ， ）上单调递减，
∴当x∈（x0 ， ）时，m（x）＜m（x0）=0，此时 ＜0；
若x0 ，φ（x）在（ ，x0）上单调递减，
∴当x∈（ ，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时 ＜0；
∴y=f（x）在（0， ）∪（ ，+∞）上不存在“类对称点”．
若x0= ， （x﹣ ）2＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，
当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故 ＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”， 是一个“类对称点”的横坐标．
故选B．