Question

【题目】如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为.

（ⅰ）当时，求直线的斜率；

（ⅱ）是否存在直线，使？若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）1，-1；（ⅱ）不存在直线，使得．

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就要知道两个独立条件，椭圆左顶点在圆说明，再由离心率可得，最后由可得；（2）本题考查解析几何的基本方法，直线与椭圆相交问题与存在性命题，解决方法是（ⅰ）设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为，与椭圆方程联立并代入消元得，其中一个根是－4，另一根设为（易得），再由弦长公式可求得；（ⅱ）圆中的弦长利用垂径定理求得，把代入方程，解之，如能解得值，说明存在，如方程无解，说明不存在．

试题解析：（1）因为椭圆的左顶点在圆上，所以，

又离心率为，所以，所以，

所以，所以的方程为.

（2）（ⅰ）设点，显然直线存在斜率，

设直线的方程为，与椭圆方程联立得，

化简得到，

因为-4为上面方程的一个根，所以，

所以，

由，

代入得到，解得，所以直线的斜率为1，-1.

（ⅱ）圆心到直线的距离为，，

因为，

代入得到，

显然，，所以不存在直线，使得．