Question

【题目】已知数列的前项和满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；

（3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）不存在.

【解析】

（1）当时，，与题目中所给等式相减得：，即，又时，，解得：，所以.

（2）化简得，由裂项相消得，，再根据不等式都成立，化简得：，求出的最大值即可.

（3）假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有.证明其成立的条件与，，互不相等矛盾即可.

（1）因为数列的前项和满足，

所以当时，，

两式相减得：，即，

又时，，解得：，

所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而.

（2）由（1）知：，

所以，

，

对任意的，不等式都成立，即，

化简得：，令，

因为，

故单调递减，

所以，故，

所以，实数的取值范围是.

（3）由（1）知：，

假设存在互不相等的正整数，，满足条件，

则有.

由与得，

即，

因为，所以.

因为，当且仅当时等号成立，

这与，，互不相等矛盾.

所以不存在互不相等的正整数，，满足条件.