Question

【题目】已知函数 .

(1)当时,求函数的极小值；

(2)若函数在有个零点,求实数的取值范围；

(3)在(2)的条件下,若函数在的三个零点分别为,求证: .

Answer 1

【答案】（1）当时,函数有极小值.（2）（3）见解析

【解析】分析：（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间，从而可得极小值；

（2）首先的零点即是的零点，由二次函数的性质可得结论；

（3）由（1）知，求得导函数，确定出的单调性与极值点，再由有三个零点，得出的范围，同时由零点存在定理得三个零点各自的范围，从而得证．

详解： (1)当 时，，，

则,解得,,解得或,

函数在区间内单调递增,在区间和内单调递减,

当时,函数有极小值.

(2)设

函数在上有个零点等价于函数在上有

个零点且，要使函数在上有个零点,则

，解得，

即实数的取值范围是.

(3)由(Ⅱ)得, ， .

，

则，解得,解得或，

，，

则，解得，解得或.

函数在区间内单调递增,在区间和内单调递减.

若函数在上的三个零点分别为,不妨设

则，即，解得.

又当时, ；

当时， ；当时, ；

当时, ，

由函数零点存在性定理可得，

.