Question

【题目】已知

（1）求曲线在点出的切线方程；

（2）设函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2），等价于，，，利用导数研究函数的单调性，可得要满足对恒成立，只需，从而可得结果.

详解：（1）由题知：,则，

∴曲线在点处切线的斜率为

所以，切线方程为，即.

(2)由题知：，即，

令，则，

令解得，

∴在单增；单减，

又∵有唯一零点

所以，可作出函数的示意图，

要满足对恒成立，只需解得.即实数的取值范围是

法二：令，则，

令，则 ， 令，则，

∴在单增，单减；，故对恒成立.

∴在单减，

又∵对恒成立，令得

∴，无论在有无零点，

∴在上的最小值只可能为或，

要恒成立，

∴且，

∴.即实数的取值范围是