Question

设函数，，F(x)＝xf(x)．

(Ⅰ)若函数y＝f(x)在x＝2处有极值，求实数m的值；

(Ⅱ)试讨论方程的实数解的个数；

(Ⅲ)记函数y＝G(x)的导称函数在区间(a，b)上的导函数为，若在(a，b)上＞0恒成立，则称函数G(x)(a，b)上为“凹函数”．若存在实数m∈[－2，2]，使得函数F(x)在(a，b)上为“凹函数”，求b－a最大值．

Answer 1

答案：
解析：

本题主要考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法． 　　　4分 　　(Ⅱ)(x)＝，(x)＝g(x)， 　　即，即． 　　令，则∵ 　　∴ 　　由图知， 　　当时，(x)＝g(x)的实数解的个数为1 　　当时，(x)＝g(x)的实数解的个数为2 　　当时，(x)＝g(x)的实数解的个数为3 　　当时，(x)＝g(x)的实数解的个数为2 　　当时，(x)＝g(x)的实数解的个数为1 　　综上所述，或，(x)＝g(x)的实数解的个数为1，当，(x)＝g(x)的实数解的个数为2，当F＇(x)＝g(x)的实数解的个数为1；　10分 　　(Ⅲ)(x)＝若存在实数m∈[－2，2]，使得函数F(x)在(a，b)上为“凹函数”，则在(a，b)上(x)＞0恒成立 　　(x)，的对称轴为 　　的两根为， 　　则， 　　m∈[－2，2] 　　的最大值为，故，从而b－a最大值为　12分