Question

已知a＞0，b＞0，判断a³+b³与a²b+ab²的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析：法一，分析法：证明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分条件成立，即要证a²+b²＞a²b+ab²成立，只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立，只需证a²-ab+b²＞ab成立，而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，从而得到证明；
法二，综合法：由条件a≠b推出：a²-2ab+b²＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论．
法三，比较法：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系．

解答：解：证明：法一：（分析法）
要证a²+b²＞a²b+ab²成立，
只需证（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立
又因为a＞0，
只需证a²-ab+b²＞ab成立，
而依题设a≠b，则（a-b）²＞0显然成立，
由此命题得证．
法二：（综合法）∵a≠b，
∴a-b≠0
∴a²-2ab+b²＞0
∴a²-ab+b²＞ab（*）
而a，b均为正数，
∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）
∴a³+b³＞a²b+ab²．
法三：比较法（作差）
（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a³-a²b）+（b³-ab²）

=a2(a-b)+b2(b-a) =(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2

…（4分）
又∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，而（a-b）²≥0．
∴（a+b）（a-b）²≥0．…（6分）
故（a³+b³）-（a²b+ab²）≥0即a³+b³≥a²b+ab²…（8分）

点评：本题考查不等式的证明，体会不同方法间的区别联系．用作差的方法比较两个式子的大小，注意将差化为因式积的形式，以便于判断符号．