Question

设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件，试求S_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设{a_n}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（-+-+…+-）=，整理可得（k-1）n+b=0对于n∈N^*恒成立，从而可求得k，b的值；
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；
（3）由+≤M，可设a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，代入求和公式S_n=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．
解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则原等式可化为（-+-+…+-）=，
所以•=，
即（k-1）n+b=0对于n∈N^*恒成立，所以k=1，b=0．…（4分）
（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N^*）恒成立，则{a_n}为等差数列”．
当n=1时，=显然成立．…（6分）
当n≥2时，若++…+=②，
由①-②得，=（-），即na_n-（n-1）a_n+1=a₁③．
当n=2时，a₁+a₃=2a₂，即a₁、a₂、a₃成等差数列，
当n≥3时，（n-1）a_n-1-（n-2）a_n=a₁④，即2a_n=a_n-1+a_n+1．所以{a_n}为等差数列，即p是q的必要条件．…（10分）
（3）由+≤M，可设a₁=rcosθ，a_n+1=rsinθ，所以r≤．
设{a_n}的公差为d，则a_n+1-a₁=nd=rsinθ-rcosθ，
所以d=，
所以a_n=rsinθ-，
S_n==r≤•=，
所以S_n的最大值为…（16分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．