Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，

（Ⅰ）证明；AC⊥BP；

（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】

(I)取的中点,连接,通过证明平面得出;

(II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平面所成角．

（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，

∵AB＝BC，PA＝PC，

∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，

∴AC⊥平面PBM，

∵BP平面PBM，

∴AC⊥BP．

（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，

∴∠ABC＝120°，

∵AB＝BC＝1，∴AC，BM，∴AC⊥CD，

又AC⊥BM，∴BM∥CD．

∵PA＝PC，CM，∴PM，

∵PB，∴cos∠BMP，∴∠PMB＝120°，

以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，

以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：

则A（0，，0），C（0，，0），P（，0，），D（﹣1，，0），

∴（﹣1，，0），（0，，0），（，，），

设平面ACP的法向量为（x，y，z），则，即，

令x得（，0，1），

∴cos，，

∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos，|．