Question

【题目】已知函数，（其中， 为自然对数的底数）

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1.

【解析】试题分析：（1）求出的导数，讨论当时， ， 无极值；当时，由，得，求得单调区间，可得在处取到极小值，且极小值为，无极大值；（2）令，则直线与曲线没有公共点方程在上没有实数解，分与讨论即可得答案.

试题解析：（Ⅰ）

（ⅰ）当时， ， 在上为增函数，所以函数无极值；

（ⅱ）当时， ，得

当时， ；当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.

（Ⅱ）当时，

令

则若直线与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数根

当时，

又函数的图象在定义域上连续，可知方程在上至少有一实数根，与方程在上没有实数根矛盾，故

当时， ，知方程在上没有实数根

所以的最大值为1.