Question

（本小题共12分）

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是边长为的正三角形，点A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.

（1）求证：面A₁AO面BCC₁B₁;

（2）当AA₁与底面成45°角时，求二面角A₁—AC—B的大小；

（3）若D为侧棱AA₁上一点，当为何值时，BD⊥A₁C₁.

Answer 1

arctan2,

解析:

证明：（1）连AO, ∵⊿ABC为正三角形, ∴AO⊥BC.

又∵A₁O⊥面ABC，∴A₁O⊥BC，∴BC⊥面A₁AO

∴面A₁AO⊥面BCC₁B₁         ………4分

（2）过O作OE⊥AC于E，连A₁E，

∵A₁O⊥面ABC，

∴，∴∠A₁EO即为所求的平面角.

∵正⊿ABC的边长为,∠A₁AO=45°,

∴ ．

∴二面角A₁—AC—B的大小为arctan2 ．             …………8分

（3）过D作DF//A₁O交AO于F，则DF⊥面ABC，

连BF，要使BD⊥A₁C₁，只要使BF⊥AC，

∵⊿ABC为正三角形,

∴只要F为△ABC的中心即可，

∴时，BD⊥A₁C₁ ．            …………12分