Question

已知数列{a_n}满足8a_n+1=m+a_n²，n∈N^*，a₁=1，m为正数．
（1）若a_n+1＞a_n对n∈N^*恒成立，求m的取值范围；
（2）是否存在m，使得对任意正整数n都有？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，8（a_n+1-a_n）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），a_n+1＞a_n对n∈N*恒成立的充要条件是a₂-a₁＞0．
（2）假设存在m，符合要求，a_n+1-a_n==，递推出a_n=，
考查出当m＞16时，a_n→+∞，故不存在．
解答：解：（1）∵m为正数，8a_n+1=m+a_n²①，a₁=1，∴a_n＞0（n∈N*）
又8a_n=m+a_n-1²②，①-②两式相减得8（a_n+1-a_n）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∴a_n+1-a_n与a_n-a_n-1同号
∴a_n+1＞a_n对n∈N*恒成立的充要条件是a₂-a₁＞0
由a₂-a₁=＞0，得m＞7
（2）证明：假设存在m，使得对任意正整数n都有．
则，则m＞17．--------------------（9分）
另一方面，a_n+1-a_n==，---------（11分）
∴a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1，
∴a_n-a₁，∴a_n=
当m＞16时，由①知，a_n→+∞，不可能使a_n+1＜2007对任意正整数n恒成立
∴m≤16，这与m＞17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有
点评：本题考查不等式成立的条件、数列的极限，考查恒成立问题、数列极限的运算、分类讨论、分析解决问题能力．