Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2

3

的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2

6

，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由M，N分别PB，PD的中点，知MN是△PBD的中位线，此能够证明MN∥平面ABCD．
（2）连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能够求出二面角A-MN-Q的余弦值．

解答：解：（1）∵M，N分别PB，PD的中点，
∴MN是△PBD的中位线，∴MN∥BD，
∵MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（2）连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图
在菱形ABCD中，∵∠BAD=120°，∴AC=AB=2

3

，BD=

3

AB=6，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．

在Rt△PAC中，∵AC=2

3

，PA=2

6

，AQ⊥PC，
∴QC=2，PQ=4，
∴A（-

3

，0，0），B（0，-3，0），C（

3

，0，0），D（0，3，0），
P（-

3

，0，2

6

），M（-

3

2

，

3

2

，

6

），N（-

3

2

，

3

2

，

6

），Q（

3

3

，0，

2 6

3

），
设平面AMN的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，
由

AM

=(

3

2

，-

3

2

，

6

)，

AN

=(

3

2

，

3

2

，

6

)，
知

3 2 x1- 3 2 y1+ 6 z1=0 3 2 x1+ 3 2 y1+ 6 z1=0

，解得

m

=(2

2

，0，-1)．
设平面QMN的法向量

n

=(x2，y2，z2)，
由

QM

=(-

5 3

6

，-

3

2

，

6

3

)，

QN

=(-

5 3

6

，

3

2

，

6

3

)，
知

- 5 3 6 x2- 3 2 y2+ 6 3 z2=0 - 5 3 6 x2+ 3 2 y2+ 6 3 z2=0

，解得

n

=(2

2

，0，5)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

2 2 ×2 2 -5

8+1 • 8+25

=

33

33

．
∴二面角A-MN-Q的余弦值为

33

33

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用．