Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x（1﹣x）．
（1）在如图所给直角坐标系中画出函数f（x）的草图，并直接写出函数f（x）的零点；
（2）求出函数f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（1）当x≥0时，由f（x）=2x（1﹣x）=0得x=0或x=1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴当x＜0时，函数的零点为﹣1，
即函数f（x）的零点为0，﹣1，1．
（2）若x＜0，则﹣x＞0，
∵x≥0时，f（x）=2x（1﹣x）．
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣2x（1+x）．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣2x（1+x）=﹣f（x），
即f（x）=2x（1+x），x＜0．
即f（x）=．

【解析】（1）根据函数奇偶性的性质以及函数零点的定义进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．