Question

【题目】已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），
（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值，证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知：

函数f（x）的对称轴为x=

∵函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，

∴ ∈[﹣1，1]

∴a∈[﹣2，2]）

（2）解：由|a|≥2得：a≥2，或a≤﹣2，

而函数f（x）的对称轴为直线x= ，

M（a，b）=|f（x）|max=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=

则4≤2|a|≤|1+a+b|+|1﹣a+b|≤2M（a，b）

即M（a，b）≥2）

【解析】（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上不单调，则函数图象的对称轴x= ∈[﹣1，1]，解得答案；（2）由|a|≥2得：a≥2，或a≤﹣2，则M（a，b）=|f（x）|max=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}= ，进而可证得M（a，b）≥2．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)．