Question

【题目】已知函数f（x）=lg的图象关于原点对称，其中a为常数．

（Ⅰ）求a的值，并求出f（x）的定义域

（Ⅱ）关于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[，]有实数解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=-1，定义域（-∞，-1）∪（1，+∞）（Ⅱ）a∈[0，lg7]．

【解析】

（Ⅰ）根据奇函数的定义即可求出a的值，根据对数函数的解析式，即可求出函数的定义域，

（Ⅱ）关于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[]有实数解，转化为lg（22x-1）=a在x∈[]有实数解，根据函数的单调性，求出y=lg（22x-1）的值域即可求出a的范围

（Ⅰ）∵函数f（x）=lg的图象关于原点对称，

∴函数f（x）=lg为奇函数，即f（-x）+f（x）=0，

∴，且a≠1

∴lg=0，

∴=1，

整理可得，（a2-1）x2=0恒成立，

∴a=1（舍）或a=-1，f（x）=lg，

由＞可得，x＜-1或x＞1，

即函数的定义域（-∞，-1）∪（1，+∞），

（Ⅱ）设2x=t，则t∈[，2]，

∵关于x的方程f（2x）+21g（2x-1）=a在x∈[，]有实数解，

∴lg+21g（2x-1）=lg（2x+1）（2x-1）=lg（22x-1）=a在x∈[，]有实数解，

设u=22x-1，则u（x）为增函数，y=lgu为增函数，

∴y=lg（22x-1）在[，]上为增函数，

∴0≤y≤lg7，

∴a∈[0，lg7]．