Question

【题目】椭圆离心率为，，是椭圆的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的交点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的下顶点为，直线与椭圆交于两个不同的点，是否存在实数使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）第一问，直接根据已知条件得到关于a，c的方程组解答即可. （2）第二问，先设MN的中点为H，再利用韦达定理得到点H的坐标，再根据求出k的值，最后利用判别式检验.

试题解析：

（1）由题意可得，

解得，

所以，

所以椭圆的方程为；

（2）由题意知，

联立方程，整理得 ，

（化简可得），①

设，则

，,

设中点为，

由，知，

所以点的坐标为，

因为，所以，

又直线斜率均存在，所以.

于是 ，

解得，即，

将代入①，满足．故存在使得以为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．