Question

【题目】已知函数

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)当时，判断 在上的单调性，并说明理由；

(3)当时，求证： ，都有

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由得切线斜率，由点斜式写切线方程即可；

（2）由，易知在上，从而得知函数为增函数；

（3）由（2）可知，当时， 在区间单调递增，易知不等式成立；当时，设， ，分析单调性可知存在唯一的实数，使得，又 ， ，所以当时，对于任意的， .

试题解析：

（1）当时， , .

得 又,

所以曲线在处的切线方程为

（2）方法1：因为，所以.

因为，所以，所以.

所以 当时， ，所以在区间单调递增.

方法2：因为，所以.

令， 则 ，

随x的变化情况如下表：

x
		+
			极大值

当时， .

所以时， ，即，

所以在区间单调递增.

（3）方法1：由（2）可知，当时， 在区间单调递增，

所以时， .

当时，设，

则 ，

随x的变化情况如下表：

x
		+
			极大值

所以在上单调递增，在上单调递减

因为， ，

所以存在唯一的实数，使得，

且当时， ，当时， ，

所以在上单调递增， 在上单调递减.

又 ， ,

所以当时，对于任意的， .

综上所述，当时，对任意的，均有.

方法2：由（Ⅱ）可知，当时， 在区间单调递增，

所以时， .

当时， 由（Ⅱ）可知， 在上单调递增，在上单调递减，

因为， ，

所以存在唯一的实数，使得，

且当时， ，当时， ，

所以在上单调递增， 在上单调递减.

又 ， ,

所以当时，对于任意的，.

综上所述，当时，对任意的，均有.