Question

【题目】某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：

市场销售状态		畅销	平销	滞销
市场销售状态概率
预期平均年利润（单位：万元）	方案	700	400
	方案	600	300

（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？

（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为（万件），通过核算，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为，实行方案时新产品的年度总成本（万元）为．已知，．若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价（元）分别为60，，，且生产的新产品当年都能卖出去．试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．

Answer 1

【答案】（1）当时，应选择方程；当时应选择方程；（2）年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．

【解析】

（1）根据表格数据计算出两种方案的平均年利润的期望值，比较可得；

（2）求出方案，按市场销售状态的新产品的年利润的分布列，求出期望值，再用导数的知识求得最大值即可．

解：（1）∵，解得．

，

，

；

；．

∴当时，应选择方程；当时应选择方程；

当时，根据（1）的结果，应选择方案，所以新产品的年度总成本为

．

（2）设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为，和，

则，，，

∴的分布列为

	0.4	0.4	0.2

．

设，，

∴．

，．

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴当时，取得最大值，即年产量为10万件时，取得最大值，

此时（万元）．

由（1）知，预期平均年利润的期望（万元）．

因为，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．