Question

【题目】已知函数y=f(x)，f(0)=-2，且对 ，y R，都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.
（1）求f(x)的表达式；
（2）已知关于x的不等式f(x)-ax+a+1 的解集为A，若A[2,3]，求实数a的取值范围；
（3）已知数列{ }中， ， ，记 ，且数列{ 的前n项和为 ，
求证： .

Answer 1

【答案】
（1）解：取y=0，可得f(x)=(x+1)x-2=
（2）解：令g(x)= ，由题意可知
， ，g(2) ，g(3) .
可得
（3）证明：∵ ,
∴
即
∵ ，
∴
,

【解析】（1）求函数f(x)的表达式，直接令y=0，代入式子中即可得到。
（2）在闭区间上用二次函数的性质求解不等式，要从，对称轴的位置，闭区间端点的函数值三个方面综合考虑，然后将所得范围交起来即可。
（3）将an代入f(x)函数中，向bn的方向化简等式，得到和的关系，代入前n项和的公式中求解即得。