Question

【题目】过抛物线）的焦点F且斜率为的直线交抛物线C于M，N两点，且．

（1）求p的值；

（2）抛物线C上一点，直线（其中）与抛物线C交于A，B两个不同的点（A，B均与点Q不重合）．设直线QA，QB的斜率分别为，.直线l是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由；

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过定点

【解析】

（1）设直线，与抛物线联立可得，利用焦点弦长可构造方程求得；（2）由（1）可得抛物线方程和点坐标；联立直线与抛物线方程，可得和韦达定理的形式；利用两点连线斜率公式表示出，代入韦达定理结果可求得，满足，从而得到直线方程，进而求得定点.

（1）由题意得：，设直线方程为：

代入抛物线方程得：

设，

，解得：

（2）由（1）知：抛物线

设，

由得：，则

，

即： ，解得：

当时，

，恒过定点

直线恒过定点