Question

【题目】如图，已知椭圆的右焦点F为抛物线的焦点，点M为和在第一象限的交点，且．

（Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若，过焦点F的直线l与相交于A，B两点，已知，求取得最大值时直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）设点，过M作的准线的垂线，垂足为N，抛物线的准线与轴的交点为，根据焦半径公式可知，再根据椭圆定义可知，结合直角和勾股定理，得，所以点，代入抛物线方程得，建立方程求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件得到抛物线，设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，，再代入的坐标表示，得到，利用二次函数求最值，并得到直线方程.

（Ⅰ）设抛物线的标准方程为，

椭圆的方程为，半焦距为c．

由已知得点，则．

设点，过M作的准线的垂线，垂足为N，抛物线的准线与轴的交点为，

由抛物线的定义，得，则．

根据椭圆定义，得，，

又因为，所以．

所以点，代入抛物线方程得，

从而，解得或．

抛物线的标准方程为或．

（Ⅱ）抛物线和的焦点坐标分别为和这时或，

满足的只有抛物线，

设点，，

由题意知直线l的斜率不等于0，且过点，所以设直线l的方程为，

由，得，

恒成立，

由韦达定理得，，

，

当时，取最大值为，

此时直线l的方程为．