Question

下列4个命题：
p1：?x∈(0，+∞)，(

1

2

)x＞log

1

3

x；        p2：?x∈(0，1)，log

1

2

x＞log

1

3

x
p3：?x∈(0，+∞)，(

1

2

)x＞log

1

2

x；     p4：?x∈(0，

1

3

)，(

1

2

)x＞log

1

3

x
其中的真命题是

④

．（填上正确命题的序号）①p₁，p₃②p₁，p₄③p₂，p₃④p₂，p₄．

Answer 1

分析：令函数y=(

1

2

)x与y=log

1

3

x图象的交点为（x₀，y₀），易得当x∈（0，x₀）时，(

1

2

)x＜log

1

3

x，可得p₁的真假；同理可判断p₃的真假；令x=

1

2

，可以判断命题p₂的真假；令x∈(0，

1

3

)，可判断p₄的真假，进而得到答案．

解答：解：p₁中，当x∈（0，+∞）时，函数y=(

1

2

)x与y=log

1

3

x，有一个交点（x₀，y₀）
当x∈（0，x₀）时，(

1

2

)x＜log

1

3

x，故p₁错误；
取x=

1

2

，则log

1

2

x=1，log

1

3

x=log32＜1，p2正确
p₁中，当x∈（0，+∞）时，函数y=(

1

2

)x与y=log

1

2

x，有一个交点（x₀，y₀）
当x∈（0，x₀）时，(

1

2

)x＜log

1

2

x，故p₃错误；
当x∈(0，

1

3

)时，(

1

2

)x＜1，而log

1

3

x＞1．p₄正确
故答案为：④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答本题的关键．