Question

【题目】为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道．已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费C（单位：万元）与跑道厚度x（单位：毫米）的关系为C（x）=，x∈[10，15]．若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元．设总费用f（x）为跑道铺设费用与10年维护费之和．

（1）求k的值与总费用f（x）的表达式；

（2）塑胶跑道铺设多厚时，总费用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当毫米时，总费用最小，最小值为180万元．

【解析】

（1）依题意，x=10时，C（10）=，求得k值，得到C（x）=，则f（x）的解析式可求；

（2）由（1）得f（x）=10x+，变形后利用基本不等式求最值．

（1）依题意，x=10时，C（10）=，解得k=36，

∴C（x）=，则f（x）=10x+=10x+，x∈[10，15]；

（2）由（1）得f（x）=10x+=10x-60+，

=10（x-6）+，

当且仅当10（x-6）=，即x=12时取最小值，

答：当x=12毫米时，总费用f（x）最小，最小值为180万元．