Question

【题目】已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数与的图象有两个不同的交点，，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，在递增；当时，递增区间为，递减为；（2）．

【解析】

（1）求得，分类讨论，根据导函数的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）函数与有两个不同的交点转化为函数有两个不同的零点，，当时，利用函数单调性与最值，构造，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.

（1）由函数，，

可得，则，

当时，，函数在单调递增；

当时，，

令，解得；令，解得，

∴函数的单调递增区间为，单调递减为，

综上可得：当时，函数在单调递增；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减为．

（2）函数与有两个不同的交点、，其中，

等价于函数有两个不同的零点，，其中．

由（Ⅰ）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点，

当时，在上是增函数，在上是减函数，

此时为函数的最大值，

当时，最多有一个零点，∴，解得，

此时，，且，

，

令，则，

∴在上单调递增，

∴，即，

∴的取值范围是．