Question

【题目】在五边形AEBCD中，，C，，，（如图）.将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图）.

（1）求证：平面ABE⊥平面DOE；

（2）求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）45°

【解析】

（1）根据矩形的性质，求得，再由等腰三角形的性质，证得，由线面垂直的判定，可得AB⊥平面EOD，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面ABE⊥平面EOD；

（2）由（1）以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面ECD和平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）由题意，O是线段AB的中点，则.

又，则四边形OBCD为平行四边形，又，则，

因，，则.

，则AB⊥平面EOD.

又平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.

（2）由（1）易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

△EAB为等腰直角三角形，且AB=2CD=2BC，

则，取，

则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），

E（0，0，1），则，，

设平面ECD的法向量为，

则有取 ，得平面ECD的一个法向量，

因OD⊥平面ABE.则平面ABE的一个法向量为，

设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则

，

因为，所以，

故平面ECD与平面ABE所成的镜二面角为45°.