Question

【题目】如图，在多面体中，是正方形，平面，平面，，点M为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求证：平面平面；

（3）若，，求E点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

(1)根据条件证明四边形为平行四边形即可.

(2)设与交于点，则为的中点，由三角形中位线的性质可得平面，由面面垂直的性质定理可得，则平面.最后利用面面平行的判断定理可得平面平面.

(3)连接.由几何关系可证得AC⊥平面，且垂足为， 则，由，可求E点到平面的距离.

（1）证明：因为平面，平面

所以

因为

所以四边形为平行四边形

所以

（2）证明：

设与交于点N，则N为的中点，为的中位线，

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

∵平面，平面，且，

∴，，

∴为平行四边形，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

又∵，

∴平面平面；

（3）解：连接，.

在正方形中，，

又∵平面，∴.

∵，

∴平面，且垂足为N，

，

∴，

由，N是中点知，，

在中，

，

因为，

设E点到平面的距离为，则.

所以.