Question

已知函数f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的递增区间；（3）当x∈[-

π

3

，  

π

6

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用周期公式求出函数f （x）的最小正周期；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f （x）的单调减区间；
（3）先利用x∈[-

π

3

，  

π

6

]，得到-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

；再结合正弦函数的图象即可得到答案．

解答：解：f(x)=2

3

cos2x+2sinxcosx-

3

=

3

(2cos2x-1)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)（5分）
（1）f（x）的最小正周期T=π（7分）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

   解得  kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴f（x）的递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z（10分）
（3）∵-

π

3

≤x≤

π

6

∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤

2π

3

∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
∴-

3

≤2sin(2x+

π

3

)≤2
∴f（x）的值域为[-

3

，  2]（13分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，最值、单调性、周期，主要考查基本知识的灵活应用，基础知识的掌握的熟练程度，决定解题的好坏和快慢．