Question

【题目】已知函数， .

（1）讨论的单调性；

（2）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据a的范围讨论导函数在定义区间上零点，根据导函数零点情况确定函数极值，（2）根据零点解得，代入得. 构造函数，其中，最后根据导数确定函数单调性，根据单调性确定函数无零点.

试题解析：（1）依题意知函数的定义域为，且.

①当时， ，所以在上单调递增.

②当时，由得： ，

则当时；当时.

所以在单调递增，在上单调递减.

（2）不是导函数的零点.

证明如下：由（Ⅰ）知函数.

∵， 是函数的两个零点，不妨设，

∴，两式相减得：

即：

又.

则

.

设，∵，∴，

令， .

又，∴，∴在上是増函数，

则，即当时， ，

从而，

又所以，

故，所以不是导函数的零点.