Question

【题目】设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数，求证：函数的极大值小于1.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明

【解析】

（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；

（2）先将函数在时恒成立，转化为在上恒成立，再设，，利用导数方法求出的最大值，即可得出结果；

（3）先由题意得到，对求导，利用导数的方法研究其单调性，即可求出其极大值，得出结论.

解：（1）由于，，

当时，，在上单调递减；

当时，由得，由得；

所以在上单调递减，上单调递增.

（2）若在上恒成立，

只需，.

令，，则，

由得，所以

，随的变化情况如下：

		1
	+	0	-
		极大值

所以，所以.

（3）由题知，，

令，，

则函数在上单调递减，，，

所以存在唯一的，

当时，；当时，.

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，

其中，所以函数有极大值.

函数的极大值是，由，得，

所以，因为，所以，即，

所以的极大值小于1.