Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n＞0且S_n=

(an-1)(an+2)

2

，令b_n=

lnan+1

lnan

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）使乘积b₁•b₂…b_k为整数的k（k∈N^*）叫“龙数”，求区间[1，2012]内的所有“龙数”之和．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

(an-1)(an+2)

2

=

an2+an-2

2

，能够推导出数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

lnan+1

lnan

=

ln(n+2)

ln(n+1)

，知b₁×b₂×…×b_k=log₂（k+2）．令log₂（k+2）=m，则k=2^m-2，（m为整数），由此能求出区间[1，2012]内的所有“龙数”之和．

解答：（1）解：由于Sn=

(an-1)(an+2)

2

=

an2+an-2

2

，
当n=1时，a₁=S₁=

a12+a1-2

2

，…（1分）
整理得a12-a1-2=0，
解得a₁=2或a₁=-1．
∵a_n＞0，
∴a₁=2．…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

an2+an-2

2

-

an-12+an-1-2

2

，…（3分）
化简得an2-an-12-an-an-1=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1．…（5分）
∴数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．…（6分）
（2）解：∵bn=

lnan+1

lnan

=

ln(n+2)

ln(n+1)

，
∴b₁×b₂×…×b_k
=

ln3

ln2

×

lm4

ln3

×…×

ln(k+2)

ln(k+1)

=

ln(k+2)

ln2

=log₂（k+2）．…（8分）
令log₂（k+2）=m，则k=2^m-2，（m为整数），…（9分）
由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，
∴m=1，2，3，4，…，10．
∴在区间[1，2012]内的k值为2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2，…（10分）
其和为（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=

22×(1-29)

1-2

-18
=2026．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查区间[1，2012]内的所有“龙数”之和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．