Question

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）证明：对任意的实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个公共点；
（Ⅲ）设g(x)=log4(a•2x-

4

3

a)，若f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（-x）=f（x）恒成立，可得log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，所以有（1+2k）x=0对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明y=f(x)+

3

2

x=log4(4x+1)+x在定义域R上是单调增函数，对任意的实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个公共点，从而证得结论．
（Ⅲ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，化简得方程2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一个实根．令t=2^x（t＞0），则方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一个正实根．分（1）当a=1时和（2）当a≠1时两种情况，分别求得t的值，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数可知f（-x）=f（x）恒成立，所以log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx，所以有（1+2k）x=0对一切x∈R恒成立，故k=-

1

2

，
从而f(x)=log4(4x+1)-

1

2

x．
（Ⅱ）由题意可知，只要证明y=f(x)+

3

2

x=log4(4x+1)+x在定义域R上是单调函数即可．
证明：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，那么f(x1)-f(x2)=[log4(4x1+1)+x1]-[log4(4x2+1)+x2]=log4

4x1+1

4x2+1

+x1-x2，
因为x₁＜x₂，
所以0＜4x1＜4x2，x₁-x₂＜0，0＜

4x1+1

4x2+1

＜1，log4

4x1+1

4x2+1

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数y=f(x)+

3

2

x在定义域R上是单调增函数．
对任意的实数b，函数y=f（x）的图象与直线y=-

3

2

x+b最多只有一个公共点．
（Ⅲ）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x-

4

3

a)有且只有一个实根，
化简得方程2x+

1

2x

=a•2x-

4

3

a有且只有一个实根．
令t=2^x（t＞0），则方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0有且只有一个正实根．
（1）当a=1时，解得t=-

3

4

，不合题意；
（2）当a≠1时，由△=0，得a=

3

4

或a=-3；
而当a=

3

4

时，解得t=-2，不合题意；
当a=-3时，解得t=

1

2

，满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是a=-3．

点评：本题主要考查函数的单调性、奇偶性的应用，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．