Question

【题目】如图抛物线的焦点为，为抛物线上一点（在轴上方），，点到轴的距离为4.

（1）求抛物线方程及点的坐标；

（2）是否存在轴上的一个点，过点有两条直线，满足，交抛物线于两点.与抛物线相切于点（不为坐标原点），有成立，若存在，求出点的坐标.若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），； （2）存在点.

【解析】

（1）由抛物线的定义，可得，且，求得，即可得到抛物线的方程，进而得到A点的坐标；

（2）设的方程为，联立方程组，由，解得，

得到，再由的方程为，联立方程组，求得，，结合，即可得到结论.

（1）由抛物线的焦点为，满足，点到轴的距离为4，由抛物线的定义，可得，且，解得，

所以抛物线的方程为，

令，解得，

又由在轴上方，所以，即.

（2）假设存在点M，可知直线的斜率存在，

设的方程为，

联立方程组，整理得，

由，解得，

此时切点，可得，

因为，所以的方程为，

联立，整理得，

所以，

由可得，，解得，

所以存在点，符合题意.