Question

【题目】已知直线l1：y=kx﹣1与双曲线x2﹣y2=1的左支交于A，B两点．
（1）求斜率k的取值范围；
（2）若直线l2经过点P（﹣2，0）及线段AB的中点Q且l2在y轴上截距为﹣16，求直线l1的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，

∵直线l1与双曲线左支交于A，B两点，

∴

解得：

（2）解：由已知得直线l2的方程为：8x+y+16=0，设Q（x0，y0），

则 ，

∵Q在直线l2，∴ ，化简得：16k2+8k﹣15=0，

分解因式得：（4k+5）（4k﹣3）=0，

∴ ，

又∵ ，∴ ，

∴直线l1的方程为：

【解析】（1）直线方程与双曲线方程联立得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由直线l1与双曲线左支交于A，B两点，可得 ，解出即可得出．（2）由已知得直线l2的方程为：8x+y+16=0，设Q（x0 ， y0），利用中点坐标公式与根与系数的关系可得Q坐标，代入直线l2的方程解出即可得出．