Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数的值；

（2）若函数存在两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）直接根据切点处的导数值等于切线的斜率求解；

（2）变形为方程有两个实数根；转化为直线与函数的图象有两个交点；分析函数的图象，从而求解．

解：（1）因为，

得

所以.

因为曲线在点处的切线方程为，

所以，

即，

（2）存在两个零点，

即方程有两个根，

也即直线与函数的图像有两个交点，

记，

由，

由或，

故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

且，时，

又直线过，斜率为，

大致画出图象（如下图），观察图象知：

当时，直线与的图象必有两个交点，

当时直线与的图象只有一个交点，

综上，函数存在两个零点，实数的取值范围为.