Question

【题目】已知，函数．

（1）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；

（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】

（1）代入解析式表示出方程并化简，对二次项系数分类讨论与，即可确定只有一个元素时的值；

（2）由对数函数性质可知函数在区间上单调递减，由题意代入可得，化简不等式并分离参数后构造函数，利用函数的单调性求出构造函数的最值，即可求得的取值范围．

（1）关于的方程，

代入可得，

由对数运算性质可得，化简可得，

当时，代入可得，解得，代入经检验可知，

满足关于的方程的解集中恰有一个元素，

当时，则，解得，

再代入方程可解得，代入经检验可知，

满足关于的方程的解集中恰有一个元素，

综上可知，或.

（2）若，对任意，函数在区间上单调递减，

由题意可知，

化简可得，即，所以，

令

，

当时，，当时，

，设，

设，

，

，

所以在是增函数，，

，

则的取值范围为.