Question

【题目】数列中，若，则下列命题中真命题个数是（ ）

（1）若数列为常数数列，则；

（2）若，数列都是单调递增数列；

（3）若，任取中的项构成数列的子数（），则都是单调数列.

A.个B. 个C.个D.个

Answer 1

【答案】C

【解析】

对（1），由数列为常数数列，则，解方程可得的值；

对（2），由函数，，求得导数和极值，可判断单调性；

对（3），由，判断奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，即可得到结论．

数列中，若，，，

（1）若数列为常数数列，则，

解得或，故（1）不正确；

（2）若，，

，

由函数，，

，

由，可得极值点唯一且为，

极值为，

由，可得，

则，即有.

由于，，

由正弦函数的单调性，可得，

则数列都是单调递增数列，故（2）正确；

（3）若，任取中的9项，，，，，

构成数列的子数列，，2，，9，是单调递增数列；

由，可得，为奇函数；

当时，，时，；

当时，；时，，

运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增；

或时，数列单调递减．

所以数列都是单调数列，故（3）正确；

故选：C.