Question

【题目】已知函数的定义域是且，，当时，.

（1）求证：是奇函数；

（2）求在区间上的解析式；

（3）是否存在正整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）， （3）不存在正整数满足题意，证明见解析

【解析】

（1）由已知，得，进而结合，可得，结合奇函数的定义，即可得证；

（2）由，时，，结合已知．结合（1）中结论可得所求解析式；

（3）由（2）的结论及指数的运算性质，可将不等式转化为二次不等式的形式，进而分析出对应函数在区间，上的单调性，即可得到结论．

解：（1）证明：由，得，

由得，

故是奇函数；

（2）当，时，，

，

而，

；

（3）当，，时，，，

，

因此，

不等式即为，

即．

令，对称轴为，

因此函数在，上单调递增，

因为，又为正整数，

所以，因此在，上恒成立，

因此不存在正整数使不等式有解．