Question

【题目】设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab > cd，则 +>+ ；（2） + > + 是|a-b| < |c-d|的充要条件
（1）（I）若abcd，则++
（2）(II)++是|a-b||c-d|的充要条件

Answer 1

【答案】
（1）

见解答

（2）

见解答

【解析】（1）因为+）2=a+b+2,（+）2=c+d+2
由题设a+b=c+d，abcd，得（+）2（+）2
因此++。
（II）（i）若|a-b||c-d|，则（a-b）2（c-d）2，即（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd，
因为a+b=c+d，所以abcd
由（I）得++
（ii）若++ ， 则（+）2（+）2，即a+b+2c+d+2,因为a+b=c+d，
所以abcd
于是（a-b）2=（a+b）2-4ab（c+d）2-4cd=（c-d）2
因此|a-b||c-d|，综上所述，++是|a-b||c-d|的充要条件
【考点精析】关于本题考查的不等式的证明，需要了解不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能得出正确答案．