Question

下列四个命题：
①若0＞a＞b，则

1

a

＜

1

b

；
②x＞0，x+

1

x-1

的最小值为3；
③椭圆

x2

4

+

y2

3

=1比椭圆

x2

4

+

y2

2

=1更接近于圆；
④设A，B为平面内两个定点，若有|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹是椭圆；
其中真命题的序号为

①②③

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：由不等式的基本性质，可证出①是真命题；由基本不等式求最值，可得当且仅当x=2时x+

1

x-1

最小值为3，得②是真命题；由两个椭圆离心率大小比较，可得③是真命题；由椭圆的定义可得④的轨迹不一定是椭圆，得到④是假命题．

解答：解：对于①，因为b＜a＜0，两边都除以ab，得

1

a

＜

1

b

＜0
所以①是真命题；
对于②，因为x＞0，x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1≥2

(x-1)• 1 x-1

+1=3
当且仅当x=2时，x+

1

x-1

的最小值为3，所以②是真命题；
对于③，因为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的离心率e₁=

1

2

椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的离心率e₂=

2

2

，且

1

2

＜

2

2

，
所以椭圆

x2

4

+

y2

3

=1比椭圆

x2

4

+

y2

2

=1更接近于圆，③是真命题；
对于④，|PA|+|PB|=2，在|AB|＜2的情况下，P的轨迹才是椭圆
题设中没有|AB|＜2，故④是假命题
故答案为：①②③

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了不等式的基本性质、基本不等式求最值、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．