Question

【题目】已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与准线交于点P，设点D为抛物线准线与x轴的交点．

（1）若k＝﹣1，求△DAB的面积；

（2）若λ，μ，证明：λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】（1）4（2）证明见解析，定值为0

【解析】

（1）由直线与抛物线联立得，根据，求得点到直线的距离，进而求得三角形的面积，得到答案；

（2）设，联立方程组，求得，结合λ，μ，得到λ，，进而求得为定值，得到答案.

（1）由F的坐标分别为（1，0），直线PF的斜率为1，

所以直线PF的方程为y＝﹣（x﹣1），

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

由直线与抛物线联立得x2﹣6x+1＝0，

所以x1+x2＝6，x1x2＝1．

于是|AB|＝x1+x2+2＝8．

点D到直线x+y﹣1＝0的距离d，

所以S4；

（2）证明：设直线l：y＝k（x﹣1）．则P（﹣1，﹣2k），

联立可得ky2﹣4y﹣4k＝0，

，

∵λ，μ，

所以（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1，﹣2k﹣y1）＝μ（x2+1，y2+2k），

∴λ，．

∴λ+μ（定值）．