Question

【题目】平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线，给出以下四个结论：①当时，曲线是一个圆；②当时，曲线的离心率为；③当时，曲线的渐近线方程为；④当曲线的焦点坐标分别为和时，的范围是.其中正确的结论序号为_______.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

设出动点的坐标,根据斜率之积为可求得动点的轨迹方程.依次代入的值可判断①②③;讨论当分别取和时焦点坐标,求得都为和,因而可判断④.

设动点

当时,

即,化简可得

又因为,满足

所以动点的轨迹方程为

当时,曲线的方程为,为圆心在原点,半径为的圆,所以①正确;

当时,曲线的方程为,可化为,为焦点在轴上的椭圆,所以,则离心率为,所以②错误;

当时,曲线的方程为,可化为,为焦点在轴上的双曲线,所以渐近线方程为,所以③正确;

当时,曲线的方程可化为,表示焦点在轴上的椭圆,则,则焦点坐标为和.

当时,曲线的方程可化为,表示焦点在轴上的双曲线,则,则焦点坐标为和.由以上可知,当焦点坐标为和时,的取值范围为,所以④错误.

综上可知,正确的序号有①③

故答案为: ①③