Question

已知A（

1

4

，0），点B是y轴上的动点，过B作AB的垂线l交x轴于点Q，若

AP

+

AQ

=2

AB

，M（4，0）．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）是否存在定直线x=a，以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意设出B，Q的坐标，利用直角三角形中的射影定理得到B，Q坐标的关系，然后结合题目给出的向量等式列式，消掉参数后即可求得点P的轨迹方程；
（2）因为P在（1）中的抛物线上，设出P的坐标，求出PM的中点坐标，利用弦心距公式列式求出以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长，有现场为定值可求得定值a的值．

解答：解：（1）设B（0，t），设Q（m，0），t²=

1

4

|m|，∵m≤0，∴m=-4t²，
∴Q（-4t²，0），设P（x，y），则

AP

=（x-

1

4

，y），

AQ

=（-4t²-

1

4

，0），

2

AB

=（-

1

2

，2t），∵

AP

+

AQ

=2

AB

．
∴（x-

1

4

，y）+（-4t²-

1

4

，0）=（-

1

2

，2t），
∴x=4t²，y=2t，∴y²=x，此即点P的轨迹方程；
（2）存在定直线x=

15

4

，以PM为直径的圆与直线x=

15

4

的相交弦长为定值

15

．
事实上，由（1）知点P的轨迹方程是y²=x．
设P（y²，y），∵M （4，0），
则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T（

y2+4

2

，

y

2

），
以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长：
L=2

( y2+4 2 -4)2+( y 2 -0)2-( y2+4 2 -a)2

=2

(a-4)(y2-a)+ y2 4

=2

(a- 15 4 )y2-a(a-4)

若a为常数，则对于任意实数y，L为定值的条件是a-

15

4

=0，即a=

15

4

时，L=

15

．
∴存在定直线x=

15

4

，以PM为直径的圆与直线x=

15

4

的相交弦长为定值

15

．

点评：本题考查了与直线有关的动点轨迹方程的求法，考查了直线与圆的关系，训练了利用弦心距求弦长，是有一定难度题目．