Question

【题目】对于函数，若存在实数 ,使 成立，则称为的不动点.

（1）当时，求的不动点；

（2）若对于任意的实数 函数 恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的图象上 两点的横坐标是函数 的不动点，且直线 是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)设为不动点，则有,变形为,解方程即可；(2)将转化为，由已知，此方程有相异二实根，则有恒成立，可得，由可得结果；(3)由垂直平分线的定义解答，由两点的横坐标是函数的不动点,则有 ,再由直线是线段的垂直平分线，得到，再由中点在直线上可得利用基本不等式求解即可.

，

（1）当时，，

设为其不动点，即,

则,

即的不动点是.

(2)由得，

由已知，此方程有相异二实根，则有恒成立

即，即对任意恒成立，

，.

(3)设，

直线是线段的垂直平分线，，

记的中点，由（2）知，

在上，，

化简得（当时，等号成立）

即，即.