Question

【题目】已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点 到焦点的距离等于．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且．求直线与抛物线的交点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线与抛物线只有一个交点，理由见解析。

【解析】

（1）由题意，的奥抛物线的准线方程为，列出方程，求得的值，即可得到答案.

（2）设点为，点为，焦点为，由题意可得，列出方程，得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可求解.

（1）抛物线的准线方程为，

所以点 到焦点的距离为．

解得．

所以抛物线的方程为．

（2）直线与抛物线只有一个交点，理由如下：

设点为，点为，焦点为．

则，．

由题意可得，

故．

从而．

故直线的斜率 ．

故直线的方程为，即．①

又抛物线的方程，②

联立消去得 ，故，且．

故直线与抛物线只有一个交点．