Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在处取得极值,求曲线在点处的切线方程;

（Ⅱ）讨论函数的单调性;

（Ⅲ）设若对恒成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，先利用求得值，再利用导数的几何意义求其切线方程；（Ⅱ）求导，通过讨论二次方程的两根的大小关系进行求解；（Ⅲ）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再通过求导进行处理.

试题解析：（Ⅰ）由得或（舍去）

经检验,当时,函数在处取得极值.

时,

则

所以所求的切线方程为 整理得.

综上所述,曲线在点 处的切线方程为

（Ⅱ）定义域为,

令得或,则且

①当时, 此时在上单调递增;

②当时, 在和上单调递增,在上单调递减；

③当时, 在上单调递减,在上单调递增.

综上所述,当时, 在上单调递增；当时, 在和上单调递增,在上单调递减；当时, 在上单调递减,在上单调递增.

（Ⅲ）由题意, ,即,

即对任意恒成立,令则

令则即在上单调递减, 上单调递增,

当时取得最小值

解得

又的取值范围为

综上所述,实数的取值范围为