Question

【题目】如图，已知椭圆C：＋y2＝1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1（2）证明见解析，定点N.

【解析】

（1）利用直线AF与圆相切可求得a（圆心到直线的距离等于半径），从而得椭圆方程；

（2）由＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，设直线AP的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程可求得P点坐标，同理可得Q点坐标，写出直线PQ方程，化简后可知其所过定点．

（1）将圆M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－1）2＝3，圆M的圆心为M（3,1），半径为r＝.

由A（0,1），F（c,0）（c＝）得直线AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.

由直线AF与圆M相切得＝.

所以c＝或c＝－（舍去）．所以a＝，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）证明：由＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，

由A（0,1）可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－x＋1（k≠0），

将y＝kx＋1代入椭圆C的方程＋y2＝1并整理，得（1＋3k2）x2＋6kx＝0，

解得x＝0或x＝－，

因此P的坐标为，即.

将上式中的k换成－，得Q.

所以直线l的方程为y＝·＋，

化简得直线l的方程为y＝x－.

因此直线l过定点N.