Question

【题目】设椭圆E:（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（1）因为椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,

则△=,即

，

要使,需使,即,所以,所以又,

所以,所以,即或,

因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,,,

所求的圆为,此时圆的切线都满足或,

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．