Question

【题目】将边长分别为的正方形叠放在一起,形成如图所示的图形,由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足:.

(1)求的表达式及数列的通项公式；

(2)记若,其中为常数,且恒成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ，

(2)

【解析】

(1)由第一个阴影部分图形的面积为，第二个阴影部分图形的面积为…第个阴影部分图形的面积为，然后求出即可，再利用 ，求通项公式即可；

(2)先运算行列式可得：恒成立,再讨论当时，当为偶数时， 当为大于1的奇数时，求出的范围即可得解.

解：(1)由题意可得：第一个阴影部分图形的面积为，第二个阴影部分图形的面积为…第个阴影部分图形的面积为，则

，

又且，则，，

当为偶数时，，

当为大于1的奇数时，，

即 ；

(2)由(1)得：，

又恒成立,即恒成立,即恒成立,

当时，，即，

当为偶数时，恒成立,

即，

即恒成立,

即，

当为大于1的奇数时，恒成立,

即恒成立，

即恒成立，即，

综上所述：的取值范围为.