Question

【题目】如图，在四棱锥中，，， O为DE的中点，．F为的中点，平面平面BCED．

（1）求证：平面 平面．

（2）线段OC上是否存在点G，使得平面EFG？说明理由。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）题中已知垂直等关系易得平面，因此关键是证明，则可得线面垂直，从而有面面垂直，而可在等腰梯形中通过计算由勾股定理逆定理得证；

（2）假设存在点满足题意，则可证得，是中点，从而有，这与已知矛盾，从而得假设错误，点不存在．

解：（1）因为．所以，又O为DE的中点，

所以．

因为平面平面BCED，且平面，

所以平面BCED．所以．

由于四边形BCED是一个上底为2．下底为4，腰长为 的等腰梯形，易求得．

在 中， ，所以，

所以平面．所以平面 平面．

（2）线段OC上不存在点G，使得平面FFG．

理由如下：

假设线段OC上存在点G，使得平面EFG，

连接GE，GF．则必有．且．

在 中，由F为的中点，，得G为OC的中点．

在中，因为．所以 ．这显然与 ， 矛盾．

所以线段OC上不存在点G，使得平面EFG．